Applications of Finite State Machines (Алексей Чеусов, LVEE-2019) — различия между версиями

;{{SpeakerInfo}}: {{Speaker|Алексей Чеусов}}
<blockquote>
In this presentation we define the finite state automata (FSA), Moore and Mealy machines, and Finite State Transducers. We\-ightedWeighted and stochastic finite state machines are described. Also, a few well-known and custom algorithms based on finite state machines, are described.
</blockquote>

{{VideoSection}}
{{vimeoembed|366010077|800|450}}
<!-- 
{{youtubelink|}} -->
|Yuxqg35Zjhg}}
{{SlidesSection}}
[[File:Applications of Finite State Machines (Алексей Чеусов, LVEE-2019).pdf|left|page=-|300px]]

{{----}}

== Thesis ==
<latex>
fsa\_presentation.pdf}{http://www.mova.org/\textasciitilde\,cheusov/pub/lvee/2019/fsa\_presentation.pdf}. 

Начать следует с определений и теорем, хорошо знакомых любому
выпускнику ВУЗ-а по технической специальности.

\textbf{Определение:} Недетерминированным конечным автоматом \linebreak (НКА) называется пятерка
\mbox{$<I,S,Q,F,\delta>$}, где
\begin{itemize}
\item $I$ -- конечное непустое множество символов (алфавит);
\item $S$ -- конечное непустое множество состояний;
\item $Q$ -- множество стартовых состояний, $Q \subseteq S$;
\item $F$ -- множество конечных состояний, $F \subseteq S$;
\item $\delta$ -- отношение переходов $\delta \subseteq S \times I \times S$
  (или, иначе, $\delta: S \times I \rightarrow 2^S$).
\end{itemize}
</latex>
<latex>
Языком КА является множество различных последовательностей символов алфавита, допускаемых
конечным автоматом, т.е., цепочек символов вдоль пути от стартового до конечного состояния КА.

\textbf{Определение:} Регулярный язык над алфавитом $\Sigma$ определяется следующим образом:
\begin{itemize}
\item Пустой язык $\emptyset$ и язык $\{\epsilon\}$, состоящий из пустой строки, является регулярным языком;
\item $\{a\}$, где $a \in \Sigma$, является регулярным языком;
\item Если $A$ и $B$ регулярные языки, то $A \cup B$ (объединение), $A \bullet B$ (конкатенация),
  и $A\ast$ (звезда Клини) являются регулярными языками;
\item Никакие другие языки над $\Sigma$ не являются регулярными.
\end{itemize}
Этот формализм дает нам так называемые <<регулярные выражения>>.

\textbf{Определение:} Детерминированным конечным автоматом \linebreak (ДКА) является пятерка $<I,S,q,F,\delta>$, где
\begin{itemize}
\item $I$ -- конечное непустое множество символов (алфавит);
\item $S$ -- конечное непустое множество состояний;
\item $q$ -- стартовое состояние, $q \in S$.
\item $F$ -- множество конечных состояний, $F \subseteq S$.
\item $\delta$ -- функция переходов: $\delta: S \times I \rightarrow S$
\end{itemize}

</latex>
<latex>
\textbf{Теоремы}:
\begin{itemize}
\item НКА и ДКА -- эквивалентные формализмы, т.е., для каждого НКА
  существует эквивалентный ему ДКА, обратное верно по определению.
\item В общем случае ДКА может быть экспоненциально больше (по
  количеству состояний) по сравнению с эквивалентным ему НКА.
\item Для любого ДКА существует только один (с точностью до изоморфизма) минимальный ДКА,
  эквивалентный ему.
\item Регулярные языки и конечные автоматы -- эквивалентные
  формализмы, то есть, для любого КА существует эквивалентный ему
  регулярный язык и наоборот.
\item Конечные автоматы замкнуты относительно операций объединения, вычитания, пересечения, дополнения
  и звезды Клини.
\end{itemize}
</latex>

-----
<latex>
\textbf{Алгоритм} построения ДКА из НКА представлен ниже.

~

~

\begin{algorithm}[h!]
  \DontPrintSemicolon
  \SetKwInOut{Input}{input}
  \SetKwInOut{Output}{output}
  \Input{NFA = $<I,S,Q,F,\delta>$}
  \Output{DFA = $<I,S^{\prime},q^\prime,F^{\prime},\delta^{\prime}>$}
  \SetAlgoLined
%  \SetAlgoNoEnd
  $\delta^\prime := \emptyset, q^\prime := \{s | s \in Q\}, S^\prime := \{q^\prime\}$\;
  $seen := \{q^\prime\}, queue := [q^\prime]$\;
  \While{$queue \neq \emptyset$}{
    $src\_states \leftarrow queue$\;
    \For{$i \in I$}{
      $trg\_states := \{s^{trg} | (s^{src},i,s^{trg}) \in \delta, s^{src} \in src\_states\}$\;
      \If{$trg\_states \neq \emptyset$}{
        $\delta^\prime \leftarrow (src\_states, i, trg\_states)$\;
        $S^\prime \leftarrow trg\_states$\;
        \If{$trg\_states \notin seen$}{
          $queue \leftarrow trg\_states$\;
          $seen \leftarrow trg\_states$\;
        }
      }
    }
  }
  $F^\prime := \{state\_set \in S^\prime | \exists s \in state\_set, s \in F\}$
  \caption{nfa2dfa algorithm AKA <<Subset construction>>}
\end{algorithm}
</latex>
----
<latex>
Введем два дополнительных оператора:
\begin{itemize}
\item R -- оператор инвертирования. $L(R(KA)) = \{inverse(w) | w \in L(KA)\}$
\item D -- оператор построения ДКА по НКА.
\end{itemize}

\textbf{Алгоритм} Бжозовского построения минимального ДКА по \linebreak НКА:\\
$MinDFA = (D \circ R \circ D \circ R) KA$

\textbf{Замечание:} В отличие от большинства других алгоритмов построения минимального ДКА, алгоритм
Бжозовского строит минимальный ДКА по НКА!

\newpage
Алгоритм проверки, входит ли строка в язык ДКА.
</latex>

<latex>

\begin{algorithm}[h!]
  \DontPrintSemicolon
  \SetKwInOut{Input}{input}
  \SetKwInOut{Output}{output}
  \Input{DFA = $<I,S,q,F,\delta>, Text=[t_1, t_2 \dots t_n], t_i \in I$}
  \Output{$true$ \textbf{or} $false$}
  \SetAlgoLined
  %    \SetAlgoNoEnd
  $state := q$\;
  \For{$i$ from $1$ to $n$}{

\item $O$ -- выходной алфавит, конечное непустое множество выходных символов;
\item $S$ -- конечное непустое множество состояний;
\item $Q$ -- множество стартовых состояний, $Q \subseteq S$;
\item $F$ -- множество конечных состояний, $F \subseteq S$;
\item $\delta$ -- отношение переходов $\delta \subseteq S \times (I \cup \{\epsilon\}) \times (O \cup \{\epsilon\})\times S$, где $\epsilon$ -- это пустая строка.
\end{itemize}
\textbf{Замечание:} Взвешенный конечно-автоматный преобразователь \linebreak
определяется аналогично взвешенному конечному автомату.
\break</latex>
<latex>
\textbf{Область применения взвешенных конечно-автоматных
  преобразователей:} распознавание речи, синтез речи, распознавание
символов, машинный перевод, различные задачи обработки естественного
языка, включая синтаксический анализ и моделирование языка,
распознавание образов и вычислительная биология.

Задачи, решаемые с помощью конечных автоматов:
\begin{itemize}
\item Исправление ошибок OCR-распознавания CUSIP
  (\href{https://en.wikipedia.org/wiki/CUSIP}{https://en. wikipedia.org/wiki/CUSIP}). Идея алгоритма

  воспользоваться информацией о том, из каких состояний исходного НКА
  <<сформировано>> состояние ДКА. Эта информация используется для
  формирования символа выходного алфавита, соответствующего
  <<конечному>> состоянию, которое соответствует любому набору
  исходных регулярных выражений. Потенциально выходной алфавит может
  содержать $2^n$ элементов, где $n$ -- количество исходных регулярных
  выражений.
\end{itemize}
</latex>


{{----}}
[[File:{{#setmainimage:Applications of Finite State Machines (Алексей Чеусов, LVEE-2019)!.jpg}}|center|640px]]
{{LinksSection}}
* Прежде всего хочется сказать, что данная статья является дополнением
 к презентации, доступной на сайте \url{http://lvee.org} \linebreak или по ссылке ~
\href{http://www.mova.org/~cheusov/pub/lvee/2019/fsa_presentation.pdf

* [ Talks page]
<!-- <blockquote>[©]</blockquote> -->
{{fblink|2427332600853080}}                                          
{{vklink|1456}}                                          

<references/>

{{stats|disqus_comments=1|refresh_time=2021-08-31T16:13:00.591899|vimeo_plays=11|youtube_comments=0|youtube_plays=61}}

[[Категория:LVEE-2019]]
[[Категория:Draft]]Finite State Machines]]